Fuerzas sobre un dieléctrico (II)

Fuerza sobre un dieléctrico

Un trozo de material dieléctrico que se acerca a una región donde hay un campo eléctrico no uniforme experimenta una fuerza de atracción hacia la zona donde el campo eléctrico es más intenso.

Para observar de forma directa la fuerza sobre el dieléctrico se diseña el siguiente “experimento”:

Un portaobjetos de vidrio es atraído hacia el interior de un condensador formado por dos placas paralelas. El portaobjetos está colgado de una larga cuerda, de modo que su desplazamiento x hacia el interior del condensador, nos da una medida de la fuerza sobre el dieléctrico. Las placas del condensador de forma cuadrada tienen una dimensión de b=11.5 cm, están separadas una distancia d=2 mm y están conectadas a una fuente de modo que la diferencia de potencial entre las placas puede variar entre 1000 y 3000 V.

El portaobjetos de vidrio tiene un espesor t=1 mm, una altura de a=7.5 cm, una masa de m=4.37 g, y una constante dieléctrica k=5.

El portaobjetos está sujeto por una larga cuerda de modo que la distancia entre su centro y el punto de suspensión es de l=1.34 m.

En la experiencia real (véase el artículo citado en las referencias), la fuente suministra una diferencia de potencial alterna, debido a que con corriente continua las superficies del portaobjetos se polarizan y se pegan inmediatamente a una u otra placa del condensador.

Campo eléctrico

Supondremos que el campo eléctrico en el interior del condensador plano-paralelo vacío E₀=V/d es constante y perpendicular a las placas, y es despreciable fuera del condensador.

Cuando el dieléctrico se ha introducido una distancia x entre las placas del condensador, el campo en la región rectangular de dimensión a de alto y x de ancho cambia.

En la figura, se representa el campo eléctrico en dicha región en función de la distancia z a una de las placas. En el interior del dieléctrico, el campo se reduce a E/k, (k es la constante dieléctrica del material) y fuera del dieléctrico el campo es E. La suma de las áreas de los dos rectángulos es la diferencia de potencial constante V.

V=(E/k)t+E(d-t)

Energía electrostática

Para hallar la energía electrostática dividimos el volumen del condensador en tres zonas.

• En la región del condensador vacía de área b²-ax y espesor d, el campo eléctrico es E₀=V/d, la energía electrostática es

La región de área ax y espesor d, está dividida en dos partes:

• En la parte vacía de área ax y de espesor (d-t), el campo eléctrico es E, la energía electrostática es

• En la parte con dieléctrico de área ax y espesor t, el campo eléctrico es E/k¸la energía electrostática es

La energía electrostática total U es la suma de las tres contribuciones U=U₁+U₂+U₃.

Fuerza sobre el dieléctrico

Como la diferencia de potencial V se mantiene constante mientras se introduce el dieléctrico en el condensador. La fuerza sobre el portaobjetos es

Equilibrio del portaobjetos

El portaobjetos está en equilibrio bajo la acción de las siguientes fuerzas: El peso mg La fuerza de atracción F, horizontal y dirigida hacia el interior del condensador La fuerza que ejerce la cuerda T. Como consecuencia, el hilo se desvía de la vertical un ángulo θ.

T·senθ=F
T·cosθ=mg

El desplazamiento x del portaobjetos es

Como la distancia entre le centro del portaobjetos y el punto de suspensión l es muy grande comparado con el desplazamiento x del portaobjetos, el ángulo θ es pequeño,

senθ≈tanθ

Actividades

Se introduce

• La diferencia de potencial V constante entre las placas del condensador, actuando en la barra de desplazamiento titulada d.d. potencial.

Se pulsa el botón titulado Conectar

Se observa el desplazamiento x del portaobjetos hacia el interior del condensador, y se mide en la escala graduada en cm.

Datos que se mantienen fijos en el programa interactivo son:

• Distancia entre las placas del condensador d= 2mm

• Altura del portaobjetos a=7.5 cm

• Espesor del portaobjetos t=1 mm

• Constante dieléctrica del vidrio k=5

• Distancia entre el centro del portaobjetos y el punto de suspensión l=134 cm

• Masa del portaobjetos m=4.37 g

Cuando V=2000 V

El ángulo θ de desviación de la cuerda de su posición inicial es

La desviación x es

x=l·senθ=134·sen0.59º=1.38 cm

Una pieza de material dieléctrico es atraída hacia el interior del condensador, su energía potencial eléctrica se convierte en energía cinética. Alcanza la máxima velocidad cuando ocupa todo el espacio entre las placas y luego, comienza a salir, su energía cinética se convierte en potencial eléctrica y así sucesivamente.

Tenemos un oscilador, pero no es un oscilador armónico, ya que no describe un MAS, la fuerza no es proporcional al desplazamiento x.

Elegimos una sustancia dieléctrica en una lista de sustancias:

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de la pieza dieléctrica entre las placas del condensador. Se muestra mediante un vector la fuerza sobre la pieza y su energía potencial eléctrica para cada posición x del dieléctrico.

Ejemplo:

En la parte izquierda del applet, se muestra el condensador, conectado a un voltímetro. La carga Q no cambia, pero al introducirse el dieléctrico la capacidad se modifica.

En el programa interactivo, la longitud del condensador se ha fijado en a=10, y Q/C₀=1 se ha tomado igual a la unidad. Por ejemplo, eligiendo el ámbar como sustancia dieléctrica k=2.8 y para x=2, el potencial vale

Para x=20-2=18, el potencial V tiene el mismo valor que para x=2.

El potencial es mínimo V=0.36, para x=10.

En este caso, el condensador no está aislado, sino que está conectado a una batería. La diferencia de potencial entre las placas V se mantiene constante, pero cambia la carga Q de las placas del condensador. A medida que se introduce el dieléctrico en condensador la energía electrostática U aumenta en vez de disminuir. La batería aporta la energía necesaria que luego, recupera cuando el dieléctrico sale del condensador.

Tenemos un oscilador, pero no es un oscilador armónico, ya que no describe un MAS, la fuerza no es proporcional al desplazamiento x, es de módulo constante pero cambia de sentido.

• Elegimos una sustancia dieléctrica en una lista de sustancias

Se pulsa el botón titulado Empieza

Ejemplo:

En el programa interactivo, la longitud del condensador se ha fijado en a=10, y U₀=1 se ha tomado igual a la unidad. Por ejemplo, eligiendo el ámbar como sustancia dieléctrica k=2.8, la fuerza de atracción F vale

F=(2.8-1)/10=0.18

Suponiendo que la masa de la pieza dieléctrica es la unidad m=1, el tiempo que tarda en introducirse completamente en el condensador es

10=0.18·t²/2,      t=10.5

El tiempo que tarda en completar una oscilación es 4·t=42.2 unidades de tiempo.